• Τοποθετούμε την κατσαρόλα με νερό σε δυνατή φωτιά να βράσει.
• Βάζουμε μέσα τη συκωταριά, τις φέτες από το λεμόνι, τα φύλλα δάφνης, αλάτι, τους κόκκους από το πιπέρι και αφήνουμε να βράσει για 10-15 λεπτά.
• Αφαιρούμε τον αφρό ανά διαστήματα. Σουρώνουμε και πετάμε το νερό.
• Τοποθετούμε την ίδια κατσαρόλα ξανά σε δυνατή φωτιά και βάζουμε 3 κ.σ. ελαιόλαδο.
• Κόβουμε το κρεμμύδι, το σκόρδο σε μικρά κομμάτια και τα βάζουμε στη κατσαρόλα. Προσθέτουμε και το δεντρολίβανο.
• Κόβουμε τη συκωταριά σε μικρά κομμάτια, τα βάζουμε στην κατσαρόλα και σοτάρουμε για 8-10 λεπτά.
• Σβήνουμε με το κρασί, προσθέτουμε τον κύβο, το νερό, κλείνουμε το καπάκι και βράζουμε σε μέτρια φωτιά για 30-40 λεπτά.
• Στη συνέχεια, κόβουμε τα φρέσκα κρεμμύδια σε ροδέλες, το μαρούλι και τον άνηθο σε μεγάλα κομμάτια και τα βάζουμε στην κατσαρόλα. Το πράσινο μέρος από τα κρεμμύδια και 1 κ.σ. από τον άνηθο τα κρατάμε στην άκρη.
• Προσθέτουμε το ρύζι, κλείνουμε το καπάκι και βράζουμε σε μέτρια φωτιά για 10-15 λεπτά.

Για το αυγολέμονο

• Σε ένα μπολ βάζουμε το ξύσμα και τον χυμό από τα λεμόνια, τα αυγά, αλάτι, πιπέρι και ανακατεύουμε με ένα σύρμα χειρός.
• Βάζουμε αργά 5-6 κουτάλες της σούπας από τον ζωμό της μαγειρίτσας και ανακατεύουμε συνεχόμενα.
• Μεταφέρουμε το μείγμα ξανά στην κατσαρόλα, ανακατεύουμε για λίγα δευτερόλεπτα ανακινώντας την κατσαρόλα και αφαιρούμε από τη φωτιά.
• Προσθέτουμε τον άνηθο, το πράσινο μέρος από τα φρέσκα κρεμμύδια, 2 κ.σ. ελαιόλαδο, αλάτι, πιπέρι στην κατσαρόλα και ανακατεύουμε.
• Σερβίρουμε με ελαιόλαδο, άνηθο, φέτες από λεμόνι και πιπέρι.